【种花家务·几何】5-金沙娱场城app

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章平面直角坐标系 

§1-10三角形的面积

1、三角形的面积

【01】在平面几何及三角学中，对于三角形的面积有几种求法大家已经熟知了。现在根据三角形三个顶点的坐标来求它的面积。具体求法如下：

【02】设一个三角形的三个顶点分别是 p₁(x₁，y₁)，p₂(x₂，y₂) 和 p₃(x₃，y₃)  。今从三个顶点分别向 x 轴作垂线 p₁m₁，p₂m₂ 和 p₃m₃，又由 p₁ 作平行于 x 轴的直线，交 p₃m₃ 于 q₃，交 p₂m₂ 于 q₂（图1·51）。

【03】设 p₁p₂ 的长是 ρ₁，p₁p₃ 的长是 ρ₂，∠p₂p₁p₃＝θ（0＜θ＜π）。如以 △p₁p₂p₃，表示三角形 p₁p₂p₃ 的面积，

【04】则   。

【05】现在我们来考虑如何以三角形顶点的坐标来表示三角形面积的问题。我们设三角形 p₁p₂ 和 p₁p₃ 两边的倾角分别是 θ₁ 和 θ₂，就是 ∠q₂p₁p₂＝θ₁，∠q₃p₁p₃＝θ₂  。从图上1·51可以看到 θ＝θ₂－θ₁，并且

【06】所以

【07】最后的一个式子，恰好可以写成一个三阶行列式，

【08】就是

  。

【注】这个三阶行列式的特点是，它的第一列的各个元素是三角形的三个顶点的横标，第二列的各个元素是相应顶点的纵标，第三列的各个元素都是 1，它是便于记忆的。但在进行计算时，往往会由于疏忽而把“1/2”丢掉，这点要写引起注意。

例1.求以 a(－5，－1)，b(1，－6)，c(2，3) 为顶点的三角形的面积。

【解一】

【09】了我们以 a 为第一个顶点，b 为第二个顶点，c 为第三个顶点，依照这规定的顺序计算，得

【解二】

【10】把顶点的顾序改变一下，仍以 a 为第一个顶点，而以 c 为第二个顶点，b 为第三个顶点，得

  。

【11】所以 △abc 的面积是 29.5 个（单位面积）。

【12】由于所取的三角形顶点的顺序不同（在“解一”里，顶点的顺序是依照反时针方向的，在“解二”里是依照顺时针方向的），因而计算的结果也不一样，但它们的绝对值却是相等的。这是怎么一回事？我们应该怎样来理解这个问题呢？

【13】在图1·53里我们可以看到，如果三角形的顶点依照a图的顺序排列，那末 α 可以理解为由 p₁p₂，按反时针方向绕顶点 p₁ 旋转到 p₁p₃ 所成的角，根据平面三角里角的形成的概念知道 α＞0，所以 sinα＞0，因而三角形的面积△＝(1/2)ρ₁ρ₂sinα＞0  。

【14】如果三角形的顶点依照b图的顺序排列，那末 α 可以理解为由 p₁p₃ 按顺时针方向绕顶点 p₁ 旋转到 p₁p₂ 所成的角，这时 α＜0，因而△＝(1/2)ρ₁ρ₂sinα＜0  。

【15】但它们的绝对值相等，就是说，在实际计算中，假使我们按照顶点的反时针方向顺序计算，则得正值，如顺时针方向顺序计算，则得负值。面积是没有负值的，所以我们应取它们的绝对值。为了避免负值出现，可先作图使顶点顺序总是照反时针方向排列，再行计算（面积的单位是一个正方形，每边长度是一个单位长，参考图1·52）。

【16】如果三角形的一个顶点在原点，又其他两个顶点为 p₁(x₁，y₁)，p₂(x₂，y₂)，即在上面公式中 x₃＝0，y₃＝0，

【17】所以   。

求 △abc 的面积，已知它的三个顶点坐标分别是：

(1) (3，0)，(6，－4)，(－1，－3)；

(2) (2，3)，(1，5)，(－1，－2)；

(3) (a，0)，(－a，0)，(0，a)；

(4) (0，0)，(a，b)，(c，d)；

(5) (3，0)，(0，3√3)，(6，3√3)  。

【18】三角形面积公式用行列式表示，记忆虽是容易了，但计算仍不简单，为计算简捷起见，还可以采用下面列表的方法：

(1) 先在坐标上定出各顶点，照反时针方向排列，这样就使求出的值恒为正。

(2) 按照右面所定次序写出各点的坐标，并且把第一点的坐标重复写在表的最后一行。

(3) 每一横标乘下一行的纵标然后取其和，如 s₁＝x₁y₂＋x₂y₃＋x₃y₁  。

(4) 每一纵标乘下一行的横标也取其和，如 s₂＝y₁x₂＋y₂x₃＋y₃x₁  。

  。

【19】我们按照此法求例1中三角形的面积，这个三角形的三顶点为 (－5，－1)，(2，3) 和 (1，－6)  。

【20】作出各点，可以看出各点依反时针方向排列的顺序是 a(－5，－1)，b(1，－6)，c(2，3)，并列表如右：

【21】今，s₁＝(－5)(－6)＋1·3＋2(－1)＝31，

【22】又 s₂＝－1＋(－6)·2＋3(－5)＝－28，

【23】∴ △＝(1/2)(s₁－s₂)＝(1/2)([31－(－28)]＝29.5  。

【24】所以这个三角形的面积是 29.5（单位面积）。

的形式。

【注2】在计算 s₁，s₂ 时，为了避免错误，可以计算一次划一个箭头，如 (－5) 乘以 (－6) 时，就在 (－5) 与 (－6) 之间划一箭头“↘”  。

【注3】

【25】上面计算三角形的面积所用的坐标列表法，可以推广用来求多边形的面积。今举例如下，如一个四边形，它的四个顶点依反时针方向的顺序排列为 p₁(x₁，y₁)，p₂(x₂，y₂)，p₃(x₃，y₃) ，p₄(x₄，y₄)  。照平常一般的办法是分成两个三角形，求两个三角形面积的和。例如作对角线p₁p₃（图1·55），则

    (1)

【26】假如我们用列表法作参考，首先作出四边形的图，再按照反时针次序把顶点坐标写成四行，最后把第一点的坐标重复写在最后一行（如上表）。

【27】设

【28】则   。    (2)

【29】所得的结果与(1)式是一样的，但这方法却比(1)式所用的方法简单得多。

【30】同样道理，用列表法可以推广到求 n 边多边形面积。它的方法与上面的相同，即

(ⅰ) 首先作出 n 边形的顶点，

(ⅱ) 按反时针次序把顶点坐标排列成 n 行，最后把第一点的坐标重复写在最后一行，

(ⅲ) 算出 s₁，s₂，

  。

例2.求边长为 a 的正六边形的面积。

【解】

【31】设正六边形为 abcdef，取 x 轴通过相对两个顶点 d，a，原点取在中心上（图1·56），则正六边形各顶点分别是

【32】今

【33】∴ 

2、三点共线的条件

【34】三点在一直线上的条件，我们在1-8节是从每两点的斜率相等求到

  。    (1)

【35】现在我们可以从三角形面积的公式求到同一的结果。方法如下：假使 p₁(x₁，y₁)，p₂(x₂，y₂)，p₃(x₃，y₃) 三点在一直线上，则此三点所成三角形的面积应当等于零。我们用行列式表示为

  。    (2)

【36】展开(2)式得 x₁y₂＋x₂y₃＋x₃y₁－x₂y₁－x₃y₂－x₁y₃＝0，这和(1)式化简时所得到的结果是一致的。

【37】反过来可以证明，如果 ，则 (x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃) 三点在同一条直线上，就是说：

【38】三点 p₁(x₁，y₁)，p₂(x₂，y₂)，p₃(x₃，y₃) 共线的充要条件是   。

1、检验下列三点是不是在同一条直线上，如果不是，求以这三点为顶点的三角形的面积：

(1) (0，5)，(2，1)，(－1，7)；

(2) (3，3)，(1，－1)，(0，－3)；

(3) (3，0)，(6，－4)，（－1，－3)；

(4) (－2，3)，(－7，5)，(3，－5)  。

2、用列表法求下列各三角形或多边形的面积，已知它们的顶点是：

(1) (0，1)，(3，4)，(－1，－1)；

(2) (－2，－3)，(－1，4)，(3，3)，(6，－1)；

(3) (1，1)，(3，4)，(5，－2)，(4，－7)；

(4) (0，－1)，(2，0)，(3，2)，（－1，3)，(－3，0)  。

1、计算下列各行列式的值：

2、求经过 m(5，5) 和 n(1，3) 两点的直线与 x 轴的交点。[提示：设交点是 (x，0)，三点共线 ]

3、已知三角形的面积是 10，它的两个顶点的坐标是 (5，1) 和 （－2，2)，第三个顶点在 x 轴上，求第三个顶点的坐标。

4、三角形的三个顶点是 a(4，－1)，b(1，3)，c(8，4)，求它的面积和各边上高的长。[提示：△ 的高等于 △ 的面积除以相应底边的长度的 2 倍 ]

5、证明，连结三角形各边的中点所成的新三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。

6、证明以 a(10，5)，b(－2，5)，c(－5，－3)，d(7，－3) 为顶点的四边形是平行四边形，并且：

(1) 求它的面积；

(2) 求 cd 边上的高。

7、已知三角形的三个顶点是 a(3，－8)，b(－4，6)，c(7，0)，证明重心与三顶点的连结线把三角形分成三个等积的小三角形。[提示：先求重心的坐标，再计算三个小△面积 ]

8、以 a(1，1)，b(8，4)，c(3，10) 为顶点的三角形内有一点 p，与各顶点的连线构成三个三角形 pab，pbc，pca 的面积相等，求 p 点的坐标。[提示：设 p 点的坐标是 (x，y)，由三个等积的三角形建立 x 和 y 的方程组 ]

【

】